“等腰三角形顶角平分线是底边的中线。”的逆命题是若三角形一角平分线是对边的中线,则该三角形另两边相等。()
A.两圆的内公切线等于外公切线
B.中垂线上的点到两端点距离相等
C.圆的垂径平分弦
D.角平分线上的点到两边的距离相等
下列各命题都成立,写出它们的逆命题。这些逆命题成立吗?(1)两直线平行,同位角相等;(2)如果两个实数是正数,那么它们的积是正数;(3)等边三角形是锐角三角形;(4)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
解:
(1)同位角相等,两直线平行。 逆命题成立
(2)如果两个实数的积是正数,那么两个实数都是正数 逆命题不成立
(3)锐角三角形是等边三角形 逆命题不成立
(4)到一条线段两个端点的距离相等的点在线段垂直平分线上 逆命题不成立
三角形物体的重心位于角平分线上。
此题为判断题(对,错)。
给出下列命题:①三条线段组成的图形叫三角形 ②三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角 ③三角形的角平分线是射线 ④三角形的高所在的直线交于一点,这一点不在三角形内就在三角形外 ⑤任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线
⑥三角形的三条角平分线交于一点,且这点在三角形内。正确的命题有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)常见辅助线的作法有以下几种:最主要的是构造全等三角形,构造二条边之间的相等,二个角之间的相等。1) 遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形2) 遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法,(1)可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理(2)可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交,形成一对全等三角形。(3)可以在该角的两边上,距离角的顶点相等长度的位置上截取二点,然后从这两点再向角平分线上的某点作边线,构造一对全等三角形。4) 过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5) 截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目6) 已知某线段的垂直平分线,那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线,出一对全等三角形。特殊方法:在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的知识解答一、倍长中线(线段)造全等例1、已知,如图ABC中,AB=5,AC=3,则中线AD的取值围是_.例2、如图,ABC中,E、F分别在AB、AC上,DEDF,D是中点,试比较BE+CF与EF的大小.例3、如图,ABC中,BD=DC=AC,E是DC的中点,求证:AD平分BAE.应用:1、(09崇文二模)以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt,连接DE,M、N分别是BC、DE的中点探究:AM与DE的位置关系与数量关系(1)如图当为直角三角形时,AM与DE的位置关系是,线段AM与DE的数量关系是;(2)将图中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后,如图所示,(1)问中得到的两个结论是否发生改变?并说明理由二、截长补短1、如图,中,AB=2AC,AD平分,且AD=BD,求证:CDAC2、如图,ADBC,EA,EB分别平分DAB,CBA,CD过点E,求证;ABAD+BC。 3、如图,已知在,P,Q分别在BC,CA上,并且AP,BQ分别是,的角平分线。求证:BQ+AQ=AB+BP4、如图,在四边形ABCD中,BCBA,ADCD,BD平分,求证: 5、如图在ABC中,ABAC,12,P为AD上任意一点,求证;AB-ACPB-PC应用:三、平移变换例1 AD为ABC的角平分线,直线MNAD于A.E为MN上一点,ABC周长记为,EBC周长记为.求证.例2 如图,在ABC的边上取两点D、E,且BD=CE,求证:AB+AC>AD+AE.四、借助角平分线造全等1、如图,已知在ABC中,B=60°,ABC的角平分线AD,CE相交于点O,求证:OE=OD2、如图,ABC中,AD平分BAC,DGBC且平分BC,DEAB于E,DFAC于F. (1)说明BE=CF的理由;(2)如果AB=,AC=,求AE、BE的长.应用:1、如图,OP是MON的平分线,请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题:(1)如图,在ABC中,ACB是直角,B=60°,AD、CE分别是BAC、BCA的平分线,AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系;(第23题图)OPAMNEBCDFACEFBD图图图(2)如图,在ABC中,如果ACB不是直角,而(1)中的其它条件不变,请问,你在(1)中所得结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由。五、旋转例1 正方形ABCD中,E为BC上的一点,F为CD上的一点,BE+DF=EF,求EAF的度数.例2 D为等腰斜边AB的中点,DMDN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。(1) 当绕点D转动时,求证DE=DF。(2) 若AB=2,求四边形DECF的面积。例3 如图,是边长为3的等边三角形,是等腰三角形,且,以D为顶点做一个角,使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN,则的周长为;应用:1、已知四边形中,绕点旋转,它的两边分别交(或它们的延长线)于当绕点旋转到时(如图1),易证当绕点旋转到时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,线段,又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明(图1)(图2)(图3)2、(西城09年一模)已知:PA=,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.(1)如图,当APB=45°时,求AB与PD的长;(2)当APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,与相应APB的大小.3、在等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N,D为外一点,且,BD=DC. 探究:当M、N分别在直线AB、AC上移动时,BM、NC、MN之间的数量关系与的周长Q与等边的周长L的关系图1 图2 图3(I)如图1,当点M、N边AB、AC上,且DM=DN时,BM、NC、MN之间的数量关系是; 此时; (II)如图2,点M、N边AB、AC上,且当DMDN时,猜想(I)问的两个结论还成立吗?写出你的猜想并加以证明; (III) 如图3,当M、N分别在边AB、CA的延长线上时,若AN=,则Q=(用、L表示) 参考答案与提示一、倍长中线(线段)造全等例1、(“希望杯”试题)已知,如图ABC中,AB=5,AC=3,则中线AD的取值围是_.解:延长AD至E使AE2AD,连BE,由三角形性质知AB-BE <2AD<AB+BE 故AD的取值围是1<AD<4例2、如图,ABC中,E、F分别在AB、AC上,DEDF,D是中点,试比较BE+CF与EF的大小.解:(倍长中线,等腰三角形“三线合一”法)延长FD至G使FG2EF,连BG,EG,显然BGFC,在EFG中,注意到DEDF,由等腰三角形的三线合一知EGEF在BEG中,由三角形性质知EG<BG+BE 故:EF<BE+FC例3、如图,ABC中,BD=DC=AC,E是DC的中点,求证:AD、平分BAE.解:延长AE至G使AG2AE,连BG,DG,显然DGAC, GDC=ACD由于DC=AC,故 ADC=DAC在ADB与ADG中, BDAC=DG,ADAD,ADB=ADC+ACD=ADC+GDCADG故ADBADG,故有BAD=DAG,即AD平分BAE应用:1、1、(09崇文二模)以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt,连接DE,M、N分别是BC、DE的中点探究:AM与DE的位置关系与数量关系(1)如图当为直角三角形时,AM与DE的位置关系是,线段AM与DE的数量关系是;(2)将图中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后,如图所示,(1)问中得到的、两个结论是否发生改变?并说明理由解:(1)AMDE,AM=DE; (2)结论仍然成立,证明:如图,延长CA至F,使FA=AC,FA 交DE于点P,连接BF,DABA,EAAF,BAF=90°+DAF=EAD,在FAB与EAD中: FA=AE,BAF=EAD,BA=DA,FABEAD(SAS),BF=DE,F=AEP,FPD+F=APE+AEP=90°,FBDE,又CA=AF,CM=MB,AMFB且AM=FB,AMDE,AM=DE。 二、截长补短1、如图,中,AB=2AC,AD平分,且AD=BD,求证:CDAC解:(截长法)在AB上取中点F,连FDADB是等腰三角形,F是底A
由系统误差所产生的天文船位误差三角形,求最概率船位的方法有_________。Ⅰ、在船位误差三角形三个顶角分别作天体方位的平分线Ⅱ、分别对三个天体方位增加2=~4=相同度数Ⅲ、分别对三个高度差增加2'~4'相同高度差Ⅳ、船位误差三角形的三个内角做平分线Ⅴ、作船位误差三角形的三条反中线
A.Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ
B.Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ
C.Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ
D.Ⅰ、Ⅲ
三角形状的物体,其重心位置在()。
拉线装设的方位,角杆拉线在角杆的平分线上,左右偏差不超过25厘米